Hệ phương trình đẳng cấp

**iceage3** · 03-09-2011, 20:04

Đây là một dạng hệ phương trình hay nhưng hình như trong chương trình lớp 10 lại không có nhưng thi đại học ít nhiều cũng gặp thì phải.
Đây là 2 dạng thường xuyên gặp phải
Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 theo x,y.
${\begin{cases}{a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2} = {d_1} (1)\\{a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2} = {d_2} (2)\end{cases}}$
Phương pháp giải: Giải hệ khi y = 0
Khi ${y \ne 0}}$ khử hệ số ${d_1},{d_2}$ lấy (1) - (2) đưa về phương trình dạng:
${a{x^2}+ b{xy} + c{y^2} = 0 } (3)$ Sau đó chia hệ (3) cho ${y^2}$
Từ đó ta có phương trình ${a{\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} + b{\left( {\frac{x}{y}} \right)} + c = 0}$
Đây là phương trình bậc 2 giải x theo y rồi thế vào phương trình (1) hoặc (2) tìm nghiệm
Hoặc hệ phương trình đẳng cấp bậc 3 theo x,y:
${\begin{cases}{a_1}{x^3} + {b_1}{x^2}y + {c_1}x{y^2} + {d_1}{y^3} = {e_1}(1)\\{a_2}{x^3} + {b_2}{x^2}y + {c_2}x{y^2} + {d_2}{y^3} = {e_2}(2)\end{cases}}$
Phương pháp giải: Tương tự hệ đẳng cấp bậc 2
Giải hệ khi y = 0
Khi ${y \ne 0}}$ cũng khử hệ số ${e_1},{e_2}$ lấy (1) - (2) sau đó có phương trình dạng:
${a{x^3}+ b{{x^2}y} + c{x{y^2}} + d{y^3} = 0 } (3)$ Sau đó chia hệ (3) cho ${y^3}$
Sau đó giải phương trình bậc 3 ${a{\left( {\frac{x}{y}} \right)^3} + b{\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} + c{\left( {\frac{x}{y}} \right)}+ d = 0}$
Giải x theo y rồi thế vào phương trình (1) hoặc (2) để tìm nghiệm
Đối với cái bạn 11 thì cái này giống như phương trình đẳng cấp sinx, cosx ban đầu cũng thử ${cosx = 0}$ rồi sau đó chia 2 vế cho ${cos^2{x}}$ hay ${cos^3{x}}$ rồi giải phương trình bậc 2 hay bậc 3 theo ${tanx}$
Sau đây là 1 vài ví dụ:
Ví dụ 1: Mở đầu xin lấy một phần của câu hệ khối A - 2011
${\begin{cases}{x^2} + {y^2} = 2 (1)\\5{x^2}y - 4x{y^2} + 3{y^3} - 2(x + y) = 0 (2)\end{cases}}$
Bài này có nhiều cách làm và hiện nay cũng đã có nhiều cách giải khác nhau nhưng mình xin hướng vào trọng tâm topic này là đưa về dạng hệ phương trình đẳng cấp vốn đã có cách giải tổng quát.
Thay (1) vào (2) dễ thấy: ${5{x^2}y - 4x{y^2} + 3{y^3} - ({x^2} + {y^2})(x + y) = 0}$
Điều ta làm được ở bước này cực kì quan trọng là đã đưa hệ phương trình về dạng đẳng cấp bậc 3 mà ta đã có cách giải.
${\Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2}y + 5x{y^2} - 2{y^3} = 0}$ (3)
Vì y = 0 không phải nghiệm của hệ nên chia 2 vế của (3) cho ${y^3}$ ta có phương trình (3) trở thành:
${{\left( {\frac{x}{y}} \right)^3} - 4{\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} + 5\left( {\frac{x}{y}} \right) - 2 = 0}$ (4)
Giải (4) ta sẽ có nghiệm ${\frac{x}{y} = 1 \vee \frac{x}{y} = 2}$
Từ đó hệ phương trình của ta chỉ còn phải giải các hệ:
${\begin{cases}{x^2} + {y^2} = 2\\x = y\end{cases}}$ (Trường hợp 1)
${\begin{cases}{x^2} + {y^2} =2 \\x = 2y\end{cases}}$ (Trường hợp 2)
Đến đây đơn giản rồi xem như hệ phương trình đã được solve.
Ví dụ 2:
${\begin{cases}{ x^3} + {y^3} = 1{\rm{ }}(1)\\{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2{\rm{ }}(2)\end{cases}}$
Nhân (1) cho 2 rồi trừ (2) ta được phương trình: ${2{x^3} - {x^2}y - 2x{y^2} + {y^3} = 0}$ (3)
Vì y = 0 phải nghiệm của hệ nên chia 2 vế của phương trình (3) cho ${y^3}$ ta được phương trình:
${2{\left( {\frac{x}{y}} \right)^3} - {\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} - 2\left( {\frac{x}{y}} \right) - 1 = 0}$ (4)
Giải phương trình (4) có các nghiệm
${\frac{x}{y} = - 1 \vee \frac{x}{y} = 1 \vee \frac{x}{y} = \frac{1}{2}}$
Thay x theo y hoặc y theo x rồi thế vào (1) để tìm nghiệm
Đến đây hệ phương trình ở ví dụ 2 cũng đã được solve hoàn toàn.
Cuối cùng là một vài ví dụ tương tự cho các bạn:
1) ${\begin{cases}3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11\\{x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17\end{cases}}$
2) ${\begin{cases}{x^3} - {y^3} = 7\\xy(x-y) =2\end{cases}}$
3) $\begin{cases}{x^3} + 3{y^3} = 6\\xy(2{x^2} + xy - {y^2}) = 3(x + y)\end{cases}$
4) $\begin{cases}{x^3} + 4y = {y^3} + 16x\\1 + {y^2} = 5(1 + {x^2})\end{cases}$
5) ${\begin{cases}{x^3} - {x{y^2}} + {y^3 = 1\\2{x^3} - {x^2}y} + {y^3} = 2\end{cases}}$
6) ${\begin{cases}4x\sqrt x - 10(\sqrt x + \sqrt y ) - 7\sqrt {xy} (\sqrt x - 2\sqrt y ) - 2y\sqrt y = 0\\x + y = 5\end{cases}}$
7) ${\begin{cases}x\sqrt x + 2(\sqrt x - \sqrt y ) - y\sqrt y = 0\\xy = {(xy - 2)^2}\end{cases}}$

View more random threads:

Bài Tập Giải phương trình [ giúp e với ạ :( ] 04/11/2011
Đề Thi [Toán] Một số đề thi ĐH - CĐ 2011 _ Gv:Đoàn Ngọc Dũng 22/05/2011
Bài Tập Đề Kiểm Tra HK II Môn Toán nè mấy bạn tham khảo thử...hìhì^^ 05/05/2011
Lý Thuyết [Video][Khóa VIP]Chuyên Đề Toán Luyện Thi ĐH - Trần Phương... 20/07/2011
Lý Thuyết Bí quyết ôn thi tốt nghiệp môn Toán 02/04/2011
Lý Thuyết Giải PT bằng cách đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích hoặc... 25/09/2011
Bài Tập Các bài toán liên quan đến Elip 21/08/2011
Bài Tập giải bất phương trình 06/08/2011
Bài Tập toán vectơ 10 06/08/2011
Đề Thi Đề+Đáp án thi ĐH môn Toán các năm 2002, 2003, 2004, 2005,... 13/02/2011

**chuotconngocnghech** · 21-03-2012, 21:52

phần 3 giải như thế nào vậy?khó quá

**quangact** · 23-03-2012, 09:53

thank ban!

**chuotconngocnghech** · 25-03-2012, 20:13

bài 4 đó bạn.mình giải mà ko ra

**iceage3** · 25-03-2012, 20:54

Từ phương trình (2): $y^2-5x^2=4$ thay vào phương trình (1):
$x^3 +4(y-4x)=y^3$ Ta được $x^3 +(y^2-5x^2)(y-4x)=y^3$
Đây là phương trình đẳng cấp bậc 3. Tới đầy áp dụng phương pháp trên giải tiếp.

**[M]r.[B]lue** · 25-03-2012, 21:23

Đặt 2 trưởng hợp:
TH 1: x=y, thế vào, giải nghiệm
TH 2: x=ky, thế vào, giải

Thread: Hệ phương trình đẳng cấp

Thread Tools

Display

Hệ phương trình đẳng cấp

View more random threads:

Facebook comments

Re: Hệ phương trình đẳng cấp

Re: Hệ phương trình đẳng cấp

Re: Hệ phương trình đẳng cấp

Re: Hệ phương trình đẳng cấp

Re: Hệ phương trình đẳng cấp

Posting Permissions